用最难的方式学Blender——重拓扑

用最难的方式学Blender——重拓扑


投稿作者：NaiveArtist

所谓重拓扑，就是改善雕刻出模型的网格性质，使得各个面尽量都是四边形面。之所以要这样，是因为现在的细分修改器，对四边形的细分效果最好，而对于三角面等的细分效果较差，会产生很难看的结果。

稍加思考，就可以将此抽象出一个问题：


一个n棱柱，能否只用四边形填充，使得其渐渐变成一个四棱柱？

这也就是这个问题的核心，最终的目的是要得到一个方法，一个通用的方法，对其进行一些合法的操作，使得其变成四棱柱。

如图中的六棱柱，通过将两个四边形融合，便将之合法的变成了一个四棱柱：

用最难的方式学Blender——重拓扑

而五棱柱则不行，即：

用最难的方式学Blender——重拓扑
它只能约化为一个三棱柱，最后还有一个三角面。

现在都只是简单的从例子归纳，考虑一个更加抽象的问题，即将之平展：
用最难的方式学Blender——重拓扑
由上图，可以看出，三个面可以减为一个面，即n′=n−2。

而最理想的情况，是存在n′=n−1的合法变换，这样，对于任意面，都可以将之减为4面。

我们考虑这样的一个情况：
用最难的方式学Blender——重拓扑

不严格的，可以说这是两面转一面的唯一方法（且在二维上“合法”），其他方法应当都是这种方法的简单对称。

这个方法乍看起来是可以的，但是，若考虑一个三维实体，其左边与右边其实是相连的，而其左下角与右下角是无法对接的，故n−1的变换是不存在的。

所以，我们可以论证得到：


任意n边柱体，若n是偶数，那么总可以“合法”地将之变为四边形；而若n是奇数，那么至少要付出一个三角形的代价，才能将之变为四边形，或者，在最后阶段变为三角面。

先前讨论的都是柱体，看起来可能比较特殊，但仔细分析，会发现它是很容易推广的。

推论

推论1. 一个n(n>3)边形窗口，n为偶数的时候，总可以只用四边形就将之封闭。

用最难的方式学Blender——重拓扑

推论2. 一个m枝条链式的分叉结构，若满足∑ini=2k,k∈Z，总可以将之连接到一个四棱柱上。

这里得到这个结论，因为满足上述条件的枝条，所形成的一个环的边数，也是偶数，显然可以将之变为四棱柱。

用最难的方式学Blender——重拓扑

推论3. 若一个球体上开了N个口，每个口皆是以2k条边围成的，那么总能找到一个方法，使得只用四边形便可生成与之拓扑等价的曲面。

即将各个口皆转换为四条边围绕的，之后生成的总边数，总是偶数，那么自然可以将剩余的口封闭：

用最难的方式学Blender——重拓扑

推论4. 若球体上开了N个口，且有∑ini=2k,k∈Z，那么总能找到一个方法，使得只用四边形便可生成与之拓扑等价的曲面。

各口之外延用边连接之后，每次都使得总边数n′=n−2，故奇偶性不变，依据推论2，可以围成与之拓扑等价的曲面。
用最难的方式学Blender——重拓扑

推论5. 对于任意亏格的实体，若其主体可以由四边形围成，那么推论4的结论依然适用。

即通过将此实体上挖去一个窗口，那么这个窗口的边数必然是偶数个，根据初始结论，任意偶数边的管道可以“合法”地连接上去。对于4中的一般情形，同样适用。

用最难的方式学Blender——重拓扑

对于重拓扑的建议

根据开始得到的结论，以及五大推论，可以对重拓扑给出几条建议。

首先，一个管状物体，尽可能使得边数为偶数，这样不会出现三角面。

其次，多个管状物体融合的时候，比如五个手指这样的部分，可以按照上边的思路，逐步减少边数，从而将之融合，只要各个物体边数满足：

∑ini=2k,k∈Z

便可以放心地进行各种操作，而无需担心三角面的问题。

最后，在制作人体、动物身体的过程中，常常会要将腿脚连接到躯干上，这时，也要注意，要使得连接处的总边数，满足：

∑ini=2k,k∈Z

这样就可以保证，能找到方法消除三角面。而本文也给出了一个启发式的方法，即将偶数边减为四边形，将奇数边减为五边形，从而可以较为容易地将之与主体融合。

注释


1.这里的合法，意味着，在最终的模型之中，只能找到四边形。
2.所谓外延边，即将管状物体边沿之处延伸，其最外一圈的边。
3.亏格，拓扑学概念，可以简单看作曲面上孔洞的数量，参阅：百度百科：亏格